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Erlangverteilung

Pfad: http:// www.exponentialverteilung.de/ erk_erlangverteilung.html

Kurzcharakteristik

Die Erlangverteilung ist eine zweiparametrige, stetige Verteilungsform. Sie ist einseitig, d. h. nur positiven x Werten werden Funktionswerte ungleich null zugeordnet. Die beiden Parameter der Erlangverteilung sind (Lambda) und n. Wird der Parameter n=1 gesetzt, erhält man eine Exponentialverteilung. Mit anderen Worten: Exponentialverteilungen sind spezielle Erlangverteilungen.

Wichtige Funktionen und Größen

n_variiert

Dichtefunktion der Erlangverteilung::
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion der Erlangverteilung:
Verteilungsfunktion
Erwartungswert:
Erwartungswert
Varianz:
Varianz

Interpretation von Funktion und Parametern

Die Erlangverteilung erhält man, wenn man eine Exponentialverteilung mehrfach faltet (Beweis). Das heißt, die Erlangverteilung ist die Summe von exponentialverteilten Zufallsvariablen.

Beispiel:
Die Zeitspanne zwischen der Ankunft von zwei Kunden in einem Geschäft sei exponentialverteilt. Wie ist die Dauer der Zeitspanne verteilt, die vergeht, bis 10 Kunden das Geschäft erreicht haben? Antwort: Sie ist erlangverteilt (Wenn die Kunden unabhängig voneinander sind, also nicht in Gruppen kommen).

Weitere Anwendungen

  • Kalte Redundanz: Es sind Reservebauteile vorhanden, die erst benutzt werden, wenn die vorhergehenden Bauteile ausgefallen sind. Wann fällt das letzte Reservebauteil aus?

Grafen

Der folgende Graf zeigt die Dichtefunktionen verschiedener Erlangverteilungen. Dabei wurde lediglich n variiert. Wie zu sehen ist, erhält man für n=1 die Exponentialverteilung. Für größere n verschiebt sich das Maximum der Dichtefunktion nach rechts.

n_variiert

In diesem Grafen sind ebenfalls Dichtefunktionen von Erlangverteilungen abgebildet, es wurde Lambda variiert, n dagegen wurde konstant gehalten. Es zeigt sich, dass die Wölbung für größere Lambdas größer wird.

lambda_variiert

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