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Geometrische Verteilung: Warten auf den ersten Erfolg

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Kurzcharakteristik

Die Geometrische Verteilung ist eine einparametrige, diskrete Verteilung. Der Parameter p der Geometrischen Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeit und darf dementsprechend nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Geometrische Verteilungen werden auch unter Bezeichnungen wie „Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg“ vorgestellt. Sie sind das diskrete Pendant zu den Exponentialverteilungen.

Wichtige Funktionen und Größen

n_variiert Wahrscheinlichkeitsfunktion:
wahrscheinlichkeit_geo
Verteilungsfunktion:
Verteilung_geo
Erwartungswert:
erwartungswert_geo
Varianz:
varianz_geo

Interpretation von Funktion und Parametern

Im Folgenden wird kurz die Form der Geometrischen Verteilung aus einem Beispiel heraus entwickelt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, nach k-mal Würfeln zum ersten Mal eine Sechs zu würfeln (wichtig zum Beispiel beim Mensch-Ärgere-Dich-Nicht spielen). Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal eine Sechs zu würfeln, ist:
P_sechs
Um beim zweiten Mal erstmalig eine Sechs zu würfeln, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

a.) Man darf beim ersten Mal keine Sechs gewürfelt haben. Die Wahrscheinlichkeit hierfür:

P_1_keine_sechs
b.) Man muss beim zweiten Mal eine Sechs würfeln.

P_sechs
Die Wahrscheinlichkeit, dass beides zutrifft, ist:

P_2_ges

Die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Mal die erste Sechs zu haben, errechnet sich entsprechend.

a.) Beim ersten und zweiten Mal darf keine Sechs gewürfelt worden sein.

P_1_2_keine_sechs
b.) Beim dritten Mal muss eine Sechs gewürfelt werden.

P__sechs
Die Wahrscheinlichkeit für die Erfüllung beider Bedingungen.

P_2_ges

Herleitung_geo

Verallgemeinert ergibt sich für den k-ten Versuch:

a.) Alle Versuche bis zum k-ten (also k-1 Mal) keine Sechs gewürfelt zu haben (in vorstehender Zeichnung rot markiert).
P_n_keine_sechs
b.) Und die Wahrscheinlichkeit keine Sechs gewürfelt zu haben (in vorstehender Zeichnung grün markiert).
P_sechs
Zusammengesetzt ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Geometrischen Verteilung.
P_2_ges

Die Betrachtung ist aus der Sicht vor dem ersten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln bleibt bei jedem Wurf gleich (p). Wurde zehn Mal keine Sechs gewürfelt, ist die Wahrscheinlichkeit das nächste Mal eine Sechs zu Würfeln genau so hoch oder niedrig wie beim ersten Mal („Zufallsversuche haben kein Gedächtnis“). Ein Würfel merkt sich nicht, was die letzen Würfe gebracht haben. Vom Anfang des Spieles betrachtet, ist die Wahrscheinlichkeit, die erste Sechs beim zehnten Versuch zu würfeln gering, da mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit schon vorher eine Sechs gewürfelt wurde.

Weitere Anwendungen

  • Andere Glücksspiele (Roulette)
  • Lebensdauerversuche von Bauteilen
  • Versicherungsmathematik

Grafen

Nachstehend ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Geometrische Verteilung mit p=0,1 gezeichnet.

eine_geo

In den folgenden Grafen sind geometrische Verteilungen mit unterschiedlichem p eingetragen. Je höher p ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, schon beim ersten Versuch den ersten Erfolg zu haben. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem der folgenden Versuche den ersten Erfolg zu haben, sinkt, da sicht mit zunehmender Wahrscheinlichkeit schon zuvor Erfolg eingestellt hat.

mehrere_geo

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