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Fakten und Überblick: Die Exponentialverteilung

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Knapp formuliert

Die Exponentialverteilung ist eine einparametrige, stetige Verteilung. Sie wird durch den Parameter lambda, esprochen "Lambda", bestimmt. Der Parameter darf Werte zwischen 0 (ausschließlich) und unendlich annehmen.

Kurze Erklärung

Verteilung, Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, verkürzend auch oft nur "Verteilung" genannt, ist ein mathematisches Mittel zur Beschreibung von Zufallsprozessen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen können durch Verteilungsfunktionen und ggf. Dichtefunktionen oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen dargestellt werden.

Bestandteil von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist mindestens eine Zufallsvariable, die durch den Zufall bestimmt verschiedene Werte annehmen kann. Ausführliche Erklärung zu „Verteilung“, „diskret/stetig“ und „ein/ n-parametrisch“ Ausführliche Erklärung zu „Verteilung“, „diskret/stetig“ und „ein/ n-parametrisch“

Wichtige Funktionen und Größen

dichte_exponentialverteilung

Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Dichtefunktion

lambda: Griechischer Buchstabe, gesprochen "Lambda",
x: Zufallsvariable (wenn Fragestellungen in Zusammenhang mit Zeit betrachtet werden, häufig auch t genannt)
e: Naturkonstante
Ausführliche Informationen zur Zahl e und Exponentialfunktionen

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
Verteilungsfunktion

Erwartungswert:
Erwartungswert[Beweis]

(Erwartungswert: Mittelwert bei der Ergebnisse bei sehr häufiger Wiederholung. Im vorliegendem Fall: Der Kehrwert von entspricht dem Erwartungswert. lambda entspricht dem Erwartungswert.

Varianz:

Varianz[Beweis]

Die Varianz ist ein Streuungsmaß, welches angibt, wie die einzelnen Ergebnisse bei sehr häufiger Wiederholung vom Erwartungswert abweichen.

Median:
Median

Definitionsgemäß liegen 50% aller Ergebnisse unter und über dem Median. Im Gegensatz zum Erwartungswert kann eine sehr hohe Ausprägung der Zufallsvariable nicht viele niedrige Ausprägungen ausgleichen (oder umgekehrt).

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialfunktion ist eine gedächtnislose Verteilung. Eine ausführliche Erläuterung findet sich hier.

Grafen

Dichtefunktion der Exponentialverteilung:

dichte_exponentialverteilung

Auf der x-Achse ist die Zufallsvariable abgetragen, auf der y-Achse die Dichte. Die Fläche unterhalb der Kurve zwischen zwei x-Werten gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable einen Wert zwischen den x-Werten annimmt.

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung:

verteilungsfunktion_exponentialverteilung

Auf der x-Achse ist die Zufallsvariable abgetragen, auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.

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