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Die Weibullverteilung

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Kurzcharakteristik

Die Weibullverteilung ist eine zweiparametrige, stetige Funktion. Die beiden Parameter sind der sog. Formparameter b und der Lageparameter T. Als Zufallsvariable wird zumeist t statt x benutzt, da Weibullverteilungen sehr häufig in Zusammenhang mit Lebensdauern verwendet werden. Weibullverteilungen erfüllen nicht das Kriterium der Gedächtnislosigkeit. Deshalb ist die Weibullverteilung dazu geeignet, Früh- oder Spätausfälle von Bauteilen zu modellieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil im nächsten Zeitintervall ausfällt, ist bei schon sehr alten Bauteilen häufig höher als bei neuen Bauteilen. Weibullverteilungen sind nur für positive Werte von t definiert.

Die Exponentialverteilung ist eine bestimmte Weibullverteilung.

Wichtige Funktionen und Größen

Dichtefunktion:
dichte_weibull
Verteilungsfunktion:
verteilung_weibull
(Auf die Darstellung der Berechnung des Mittelwertes und der Varianz wird verzichtet.)

Interpretation von Funktion und Parametern

Entsprechend der hauptsächlichen Verwendung der Weibullverteilung als Lebensdauerverteilung wird im Folgenden mit Ausfällen u.Ä. argumentiert. Der Formparameter b kann dazu genutzt werden, um zu modellieren, ob Früh- oder Spätausfälle häufiger sind. Wird b<1 gewählt, treten verstärkt Frühausfälle auf, bei b>1 verstärkt Spätausfälle. Wird der Formparameter b=1 gewählt, ergibt sich exakt die Exponentialverteilung. Der Lageparameter kann verwendet werden, um die durchschnittliche Lebensdauer zu verändern. Er gibt allerdings im Allgemeinen nicht die durchschnittliche Lebensdauer an.

Anwendungen

Die dominierende Anwendung von Weibullverteilungen sind Lebensdaueruntersuchungen. Die Verteilungsfunktion — kontextbezogen Ausfallwahrscheinlichkeit genannt – kann schnell mit einem bestimmten Papier, dem Weibullwahrscheinlichkeitspapier, ermittelt werden. Auf diesem Papier ist die x-Achse logarithmisch und die y-Achse doppeltlogarithmisch skaliert. Dadurch hat die Verteilungsfunktion die Form einer Graden.

Grafen

Im folgenden Grafen sind die Werte für den Formparameter b variiert. Wie man sehen kann, erhält man für b=1 eine Exponentialverteilung für b=3,5 eine Funktion, die der Normalverteilung sehr ähnlich ist — ein Unterschied ist natürlich, dass der negative Bereich abgeschnitten ist.

dichte_weibull_bvar_g

Im nächsten Grafen wurde wieder der Formparameter variiert. Diesmal allerdings sind die Werte kleiner gleich eins. Diese Dichtefunktionen sind für Frühausfälle geeignet. Je kleiner b gewählt wird, desto ausgeprägter treten Frühausfälle auf.

dichte_weibull_bvar_k

Nachstehend wurde der Lageparameter variiert.

dichte_weibull_tvar

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