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Exponentielles Wachstum – der Coronavirus und die Exponentialfunktion

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Im Zusammenhang mit der COVID-19-Pandemie sind in der aktuellen Presse Berichte über „exponentielle Ausbreitung“ oder auch „Die Zahl der Erkrankten folgt der Exponentialfunktion.“ zu lesen und hören. Viele Leserinnen und Leser fragen sich, was das eigentlich bedeutet. Dieser Artikel soll das Konzept von exponentiellem Wachstum und die Exponentialfunktion einfach verständlich vorstellen. Gleich vorweg, es ist nur ein einfaches Denkmodell, in der Realität werden in der Epidemiologie weitaus komplexere Ausbreitungsmodelle angewendet und in dem Artikel sind auch keine medizinisch relevanten Informationen zu finden.

Das Konzept – Die Zahl der Infizierten im Zeitverlauf

Nehmen wir für das Modell an, am Anfang gebe es 5 Infizierte innerhalb eines Gebietes und nennen wir diese Zahl Ausgangszahl. Ein Mathematiker würde es so schreiben:

Weiterhin nehmen wir an, jede infizierte Person stecke innerhalb einer Woche 0,6 weitere Personen an. Das heißt, es gibt eine Woche später die 5 alten Fälle und 5 x 0,6=3 neue Fälle, insgesamt also 8. Die Fallzahl vom Anfang steigt also um den Faktor 1,6. Nennen wir diesen Faktor Wachstumsfaktor.

Nach 2 Wochen

Nun steht die erste Modellierungsentscheidung an. Was ist mit den Fällen vom Anfang? Stecken diese innerhalb der nächsten Woche weiterhin Menschen an? Seien wir pessimistisch und gehen davon aus, dass diese auch weiterhin andere Menschen anstecken. Das heißt, in unserem Modell blenden wir aus, dass Menschen irgendwann gesund werden und setzen die Fallzahl mit aktuell Infizierten gleich. Natürlich ist der Mechanismus stark vereinfacht und man könnte die Zusammenhänge genauer modellieren, das ist uns aber alles zu kompliziert für heute und wir wollen das Konzept des exponentiellen Wachstums in Reinform kennenlernen. Nach dieser Entscheidung können wir endlich die Zahl der Fälle nach 2 Wochen ermitteln, dazu multiplizieren wir die Zahl von nach einer Woche wieder mit 1,6.

Insgesamt haben wir die Anfangszahl 2-mal mit 1,6 multipliziert.

Wir müssen mit fast 13 Fällen rechnen. Über so Feinheiten, dass es keine Bruchteile von Fällen geben kann, sehen wir einmal hinweg. Die Zahlen werden ohnehin so schnell wachsen, dass es nicht mehr auf die Nachkommastelle ankommt. Hier noch die Rechnung für die Zeit 3 Wochen nach Anfang:

Von der Vorwoche aus gerechnet:

Oder alternativ vom Anfang gerechnet:

Verallgemeinerung, Fallzahl für einen beliebigen Zeitpunkt ausrechnen.

Das Prinzip ist offensichtlich, für jede weitere Woche muss die Zahl der Vorwoche mit 1,6 multipliziert werden. Nennen wir den Zeitpunkt der uns interessiert verallgemeinert t.

Rechenweg 1: Woche zu Woche ausrechnen (Rekursion)

Wird für die Berechnung des Wertes immer auf den Wert der Vorwoche zurückgegriffen, sagt man auch die Berechnung erfolgt rekursiv.

Bei diesem Vorgehen kann nur in Wochenschritten gerechnet werden, halbe Wochen gibt es nicht, da ein Wert fehlt, auf den zugegriffen werden kann.

Rechenweg 2: Die Anfangszahl t-mal mit dem Faktor zu multiplizieren (Exponentialfunktion)

Die Fallzahl nach t Wochen errechnet sich, indem die Anfangszahl t-mal mit 1,6 multipliziert wird.

Das wiederholte Multiplizieren einer Zahl heißt potenzieren oder umgangssprachlich auch „hochnehmen“. Letzteres rührt daher, dass die Zahl die angibt wie oft eine Zahl multipliziert werden soll hochgestellt geschrieben wird. Das einfache Modell sieht also so aus

Das Vorstehende ist eine Exponentialfunktion. Die Zahl die unten steht heißt Basis und die, die oben steht Exponent.

Wichtig: Der veränderliche Wert, in unserem Fall t, steht im Exponenten. Steht er in der Basis, dann ist es keine Exponentialfunktion, sondern eine (langweilige) Potenzfunktion. Ausgehend von der vorherigen Erklärung sicher etwas überraschend: Mathematisch ist es möglich für t auch Zahlen wie z.B. 2,14 einzusetzen, d.h. das Modell gibt auch Werte für den Zeitraum nach z.B. 2 Wochen und einem Tag an.

Jetzt kommt noch etwas mathematischer Zauber (Exponentialfunktion elegant)

Zu schreiben 1,6 hoch t gilt als unelegant. Eleganter ist als Basis die Eulersche Zahl 2,78… zu verwenden. Die Eulersche Zahl hat übrigens unendlich viele Stellen nach dem Komma, so dass sie nicht vollständig aufgeschrieben werden kann, in Formeln wird sie einfach nur „e“ geschrieben.

Warum das so ist, ist etwas komplizierter und wird an dieser Stelle offen gelassen. Die 0,47 ist auch nur eine gerundete Zahl, exakt wäre ln(5), auch diese Zahl lässt sich nicht vollständig aufschreiben.

Das einfache Corona-Modell in Excel:

Einfaches Corona Excel-Model

Die gelb markierten Felder erfordern Eingaben, die benötigten Eingaben sind der Anfangswert und der Wachstumsfaktor. Allgemein werden die Werte, die für das Modell benötigt werden, Parameter genannt. Die Formel kann auf verschiedene Wege eingegeben werden.

Rechenweg 1: Von Woche zu Woche (Rekursion in Excel)

Auf die vorangegangene Zelle zugreifen und mit dem Wachstumsfaktor multiplizieren. Die $-Zeichen stellen sicher, dass immer auf denselben Wert im Feld oben zugegriffen wird.

Rechenweg 2: Exponentialfunktion in Excel

In diesem Fall muss immer auf den Anfangswert 5 zugegriffen werden. Das „^“ bedeutet „hoch“ in Excel.

Weg 3: Elegante Exponentialfunktion in Excel

Viel zu umständlich, aber trotzdem der Vollständigkeit halber die Formel mit der Eulerschen Zahl:

Ein Vergleich zeigt, dass alle Wege zu dem gleichen Ergebnis führen.

Der Coronavirus und die Exponentialfunktion

Bis jetzt war alles Theorie, die spannende Frage ist natürlich, wieviel hat das mit der Wirklichkeit zu tun?

Die Weltgesundheitsorganisation (WHO) veröffentlicht zurzeit täglich auf ihrer Webseite Lageberichte. (https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019/situation-reports). In diesen sind viele Zahlen rund um den Coronavirus zu finden, unter anderem die Zahl der Corona-Fälle in Deutschland. Für unser Modell scheuen wir keine Mühen und übertragen die Zahlen aus den Lageberichten 35 bis 54 (Montag 24.02.2020 bis Samstag 14.03.2020) in eine Exceltabelle.

Im Modell wurde bisher in Wochen gerechnet, das behalten wir bei, ein Tag ist 1/7 Woche, also ungefähr 0,14. Wir ordnen jedem Tag ein t-Wert im Modell zu. Für die Berechnung der Fälle wählen wir den Rechenweg mit der Exponentialfunktion, da wir nun ja auch mit Bruchteilen von Wochen rechnen.

Nun muss das Modell noch kalibriert werden. Die Werte für die beiden Paramenter Anfangswert und Wachstumsfaktor waren reine Annahmen. Ziel ist es Einstellungen für die Parameter zu finden, sodass Modell möglichst genau mit der Realität übereinstimmt. Das kann durch etwas Probieren geschehen. Eine Möglichkeit die Passgenauigkeit besser zu beurteilen ist, die Differenz aus Modell- und WHO-Daten zu bilden und zu quadrieren. Je kleiner die Summe dieser Werte ist, desto besser passt das Modell. Excel-Experten können zusätzlich die Zielwertsuche zur Hilfe nehmen. Allerdings müssen wir zwei Parameter festlegen und die Zielwertsuche kann nur einen Wert optimieren.

Der Wert 6,4 ist deutlich höher, als den Wert der für die ursprüngliche Rechnung angenommen worden war. Das Modell passt sich besser an, wenn man den Anfangswert etwas höher als die 16 tatsächlichen Fälle einstellt.

COVID-19: Realdaten und einfaches Modell im Vergleich

Die Übereinstimmung von den realen WHO Daten und dem Modell ist erstaunlich gut. Die Ausbreitung des Virus ist tatsächlich annähernd exponentiell. Das ist umso überraschender, da die Zusammenhänge, die dem Modell zugrunde gelegt sind, extrem vereinfacht sind. Aber für ein statistisches Modell ist es auch gar nicht das Wichtigste exakt die fachlichen Zusammenhänge abzubilden, wichtiger ist, dass die Ergebnisse die Realität treffen.

Gibt es in Deutschland bald mehrere Milliarden (Billionen/Trillionen) Infizierte?

Noch spannender als die Vergangenheit zu analysieren, ist der Blick in die Zukunft. Dazu erweitern wir die Tabelle und verwenden die geschätzten Parameter auch für die Zukunft. Für den 23.03. sagt unser einfaches Modell 33.554 Fälle voraus, eine Woche später schon 214.748.

...

Am Mittwoch, dem 22.04. gibt es bereits mehr Fälle als Einwohner in Deutschland. Anfang Mai sind es bereits über 1 Milliarde Fälle. Die Ergebnisse sind teilweise unrealistisch (wie übrigens auch Zinses-Zins-Phantasien und Modellrechnungen von Schneeballsystemen-Anbietern). Die natürliche Grenze ist die Anzahl der Einwohner. Wenn alle schon krank sind, kann sich niemand mehr anstecken.

Das Modell nimmt an, dass jeder Fall gleichmäßig zu neuen Infektionen führt. Zum Beginn ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich fast nur Nicht-Infizierte im Umfeld des Infizierten aufhalten hoch. Mit fortschreitender Verbreitung wird es „schwerer“ Nicht-Infizierte zu „finden“ und die unterstellte Zahl von Ansteckungen aufrecht zu halten. Zudem sind bei vielen Viruserkrankungen die Menschen nach ihrer Genesung immun und können nicht mehr erneut infiziert werden. Derartige Zusammenhänge werden besser mit der Logistischen Funktion beschrieben, die leider nicht mehr ganz so einfach ist. Die Modellparameter können durch Handeln beeinflusst werden.

Noch wichtiger als die natürliche Grenze ist, dass wir die Zahl die Ausbreitungsgeschwindigkeit, unseren Wachstumsfaktor, beeinflussen können. Durch Maßnahmen wie Sensibilisierung für Händewaschen, Absage von Veranstaltungen oder strikte Ausgangssperren kann der Wachstumsfaktor mehr oder minder stark verändert werden. Auch die Entwicklung eines Impfstoffs würde sicher zu einer grundlegenden Änderung der Situation führen.

Die Tabelle zeigt die Entwicklung für einen Startwert vom 5.243 und verschiedene Werte für den Parameter „Ansteckungen“. Der letzte eingetragene Wert ist der, der die Millionengrenze überschreitet, da wie zuvor geschildert das Model dann zunehmen unrealistisch wird. Während bei unverminderter Ausbreitung schon nach 3 Wochen die Millionenmarke überschritten würde, sind es bei einer Halbierung 5 Wochen, bei einer Viertelung sind es 12 Wochen. Sobald der Parameter 1 ist, bleibt die Zahl gleich, d.h. es gibt keine neuen Fälle. Sobald der Wachstumsfaktor auch nur ein bisschen über 1 ist, findet ein Wachstum statt, das irgendwann über alle Grenzen geht. Hier rächt sich, dass wir die Möglichkeit einer Gesundung ausgeblendet haben.

Soviel für heute! Bei Interesse kann eine Fortsetzung folgen.

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