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Jedermanns Modus

Mehr Kunden als Kassen?

Warteschlangen sind ein aus dem Alltag bekanntes Phänomen. Zum Beispiel muss in Supermärkten häufig an den Kassen gewartet werden. Dies ist darauf zurückzuführen, dass zufällig zeitweilig mehr Kunden auf die Kasse zuströmen, als die Mitarbeitenden abfertigen können. Ein anderes, leicht nachvollziehbares Beispiel für Warteschlangen sind Call-Center. Bei einem Anruf dort wird der Anrufer häufig nicht direkt mit einem Servicemitarbeiter verbunden, sondern muss eine mehr oder minder lange Zeit in der Warteschleife (=Warteschlange) verweilen.

Warteschlangen spielen aber auch in weniger offensichtlichen Bereichen eine Rolle. Zum Beispiel können Werkstücke in einer Fabrik auf ihre Bearbeitung warten oder defekte Maschinen auf einen Mechaniker, der sie repariert. Auch wenn derartige Warteschlangen anders aussehen, als die aus dem Alltag bekannten Beispiele, können sie doch mit derselben mathematischen Herangehensweise behandelt werden.

Gedanklicher Aufbau eines Wartesystems

Der Ankunftsprozess
In das Wartesystem gelangen neue Elemente, die bedient werden müssen. Elemente können beispielsweise zahlungswillige Kunden oder defekte Maschinen sein. Die neu hinzukommenden Elemente werden auch als Input bezeichnet. Für eine formale Analyse muss eine Gesetzmäßigkeit angegeben werden, mit der sich das Eintreffen von Elementen beschreiben lässt. Häufige Annahme ist, dass die Zeit zwischen der Ankunft von zwei Elementen exponentialverteilt ist. Da ein derartiger Ankunftsprozess mit Markov-Ketten analysiert werden kann, wird er auch häufig M (wie Markov) abgekürzt.

Die Warteschlange
Ist keine Bedienstation frei, warten die Elemente in der Warteschlange. Typische Annahme ist, dass die Elemente geduldig sind und beliebig lang warten. In der Realität ist diese Annahme häufig nicht erfüllt. Für eine mathematische Behandlung muss eine Schlangendisziplin angenommen werden. An einer Supermarktkasse gilt (meistens) als Schlangendisziplin, dass wer sich als erstes angestellt hat, auch zuerst bedient wird. Mathematisch gesprochen: Es gilt das „First-come-First-served“ Prinzip.

Der Abfertigungsprozess
Die wartenden Elemente werden von einer oder mehreren Bedienstationen bearbeitet. Neben der Zahl der Abfertigungsstationen ist die Dauer, die die Abfertigung eines Elements in Anspruch nimmt relevant. Hier kommt wieder die Exponentialverteilung zum Einsatz.

Kenngrößen von Warteschlangen

Wenn das Verhalten des Wartesystems spezifiziert wurde, kann eine Vielzahl von Kenngrößen ermittelt werden, mithilfe derer die Leistung des Wartesystems beurteilt werden kann. Beispiel hierfür ist die durchschnittliche Verweilzeit im System, die durchschnittliche Schlangenlänge, die Wahrscheinlichkeit, nicht länger als eine bestimmte Zeitdauer warten, oder die Leerlaufzeitanteile der Bedienstationen.

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