Zufallsversuche haben kein Gedächnis?

Pfad: https:// www.exponentialverteilung.de/ jeder/ fakten/ gedaechtnislosigkeit.html

Langsam muss das Ding aber mal kaputt gehen...

...nicht unbedingt. Zumindest nicht, wenn die Lebensdauer des fraglichen Geräts (Bauteils etc.) exponentialverteilt ist. Die Exponentialverteilung hat nämlich kein Gedächtnis mit dem sie sich merken könnte, wie lange das Bauteil schon im Einsatz ist.

Funktioniert ein Bauteil mit exponentialverteilter Lebensdauer nach einer beliebigen Zeit noch, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es die nächste Zeiteinheit noch überlebt, genau so hoch wie am Anfang.

Rechenbeispiel

Die Lebensdauer eines Bauteils sei exponentialverteilt mit =0,5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das zu Beginn des Jahres intakt ist, das Jahr überlebt?

Jahr	Zu Beginn noch intakt	Am Ende intakt	Überlebenswahrscheinlichkeit für das Jahr
x	1-F(x)	1-F(x+1)	(1-F(x+1))/(1-F(x)
0.	1,00	0,61	0,61
1.	0,61	0,37	0,61
2.	0,37	0,22	0,61
3.	0,22	0,14	0,61

Die Wahrscheinlichkeit ein Jahr zu überleben ist konstant! Jedes Jahr fallen zwar weniger Teile aus, aber bezogen auf die zu Beginn des Jahres noch vorhandenen Teile ist der Anteil gleich groß. D. h. um die restliche Lebensdauer eines Bauteils mit exponentialverteilter Lebensdauer zu ermitteln, braucht nicht bekannt zu sein, wie lange das Teil schon im Einsatz ist.

In der Realität wird das Ausfallverhalten nur selten der Exponentialverteilung gehorchen, da häufig Ermüdungsausfälle auftreten.

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