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Wahrscheinlichkeiten

1.)
Wahrscheinlichkeiten werden mit Zahlen zwischen 0 und 1 angegeben. Oftmals wird in der Umgangssprache auch von z.B. einer 50% Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis A gesprochen, besser ist von P(A)=0,5 zu sprechen.

2.)
Das Sichere Ereignis S, welches alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments umfasst, hat die Wahrscheinlichkeit P(S)=1.

3.)
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die nicht gleichzeitig auftreten, können addiert werden.

Beispiel Münzwurf:

Wahrscheinlichkeit Kopf: P(Kopf)=0,5
Wahrscheinlichkeit Zahl: P(Zahl)=0,5

Bei einem Münzwurf kann nur entweder Kopf oder Zahl geworfen werden, die beiden Ereignisse treten nie gleichzeitg auf.
Die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen ist P(Kopf oder Zahl)= 0,5+0,5=1
--> Sicheres Ereignis, was soll sonst passieren?

Verteilungen

Häufig ist es nicht gewünscht oder möglich, für jedes mögliche Ereignis eine Wahrscheinlichkeit anzugeben. Stattdessen werden die Zufallsprozesse durch funktionale Zusammenhänge beschrieben. Hierbei sind verschiedene Darstellungsarten möglich (Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktion).

Es gibt verschiedene Arten von Verteilungen, die Parameter und Zufallsvariablen besitzen, die auf eine bestimmte Weise verknüpft werden.

Beispiel:
Verteilung der Anzahl der nach 10-maligen Würfeln geworfenen Sechser und die Anzahl der erzielten "Kopf"-Seiten beim 20-maligen Münzwurf können durch die gleiche Art von Verteilungsfunktion beschrieben werden. Allerdings muss unterschieden werden, 1.) wie oft gewürfelt wird und 2.) mit welcher Wahrscheinlichkeit das betrachtete Ereignis bei einmaliger Ausführung auftritt. In diesem Beispiel ist die Anzahl der gewürfelten Sechser/ geworfenen "Köpfe" die Zufallsvariable. Die Zufallsvariable wird häufig X genannt, eine konkrete Ausprägung x.

Grundsätzlich wird zwischen diskreten und stetigen Verteilungen unterschieden. Diskret bedeutet, dass die Zufallsvariable nur endliche viele Werte oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann. D.h. es könnte jedem denkbaren Ereignis eine natürliche Zahl zugeordnet werden. Beim mehrmaligen Würfeln wird zum Beispiel immer nur eine bestimmte Anzahl an Sechsern gewürfelt, halbes Würfeln gibt es nicht. Dasselbe gilt für Anzahl der Personen in einem Raum, zerschnittene Personen gibt es nur in Zauberkunstvorführungen. In fast allen Fällen ist es von daher wenig sinnvoll, der Verteilung der "Anzahl der Personen im Raum" eine stetige Verteilung zugrunde zu legen.

Bei stetigen Verteilungen ist die Anzahl der Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, unendlich. Beispiel: Zeit bis zum Ausfall einer Maschine. Hier kann nicht eine genau bestimmte Anzahl möglicher Zeitpunkte angegeben werden, denn auch zwischen zwei Millisekunden liegen noch unendlich viele Zeitpunkte. Geld ist (annähernd) stetig. Zwar ist die kleinste Einheit "Cent", in fast allen Fällen wird es aber vertretbar sein, z.B die Verteilung "Einnahmen am Ende eines Geschäftstages" so zu beschreiben, als gäbe es auch Bruchteile von Cent.

Verteilungsfunktionen

Verteilungsfunktionen der Zufallsvariable x werden F(x) gekennzeichnet. Sie geben an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable einen Wert gleich oder kleiner als x annimmt. Verteilungsfunktionen müssen Werte zwischen 0 und 1 annehmen und monoton steigend sein, d.h. sie gehen immer nach oben oder bleiben auf der gleich Höhe.

Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Bei diskreten Verteilungen kann anstelle der Verteilungsfunktion auch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben werden (Notation: Pr(X=x)). Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable den Wert x annimmt.

Dichtefunktionen

Bei stetigen Verteilungen kann eine Dichtefunktion (Notation: f(x)) angegeben werden. Sie ist das Analogon zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Wahrscheinlichkeiten. Allerdings können ihre Werte nicht als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit das eine Maschine nach genau 5,4646645464... ausfällt immer null.

Bei Dichtefunktionen müssen alle Werte positiv sein, es können aber durchaus Werte größer als 1 auftreten. Notwendig ist, dass das Integral über den gesamten Definitionsbereich der Funktion 1 ergibt. Das Integral der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.

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