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Überblick

Die Warteschlangentheorie hat die Analyse von Systemen zum Gegenstand, in die nach definierten Gesetzmäßigkeiten Elemente gelangen und dort nach festgelegten Gesetzmäßigkeiten bedient werden und danach das System wieder verlassen.
Beispiele:

• Kunden (Elemente) stellen sich im Kassenbereich eines Supermarktes an und warten darauf, an der Kasse (Bedienstation) die eingekauften Waren zu bezahlen.
• Telefonanrufe (Elemente) treffen in einem Kundendienstzentrum ein. Die Anrufer erwarten das persönliche Gespräch mit einem Kundendienstmitarbeiter (Bedienstation) in einer Warteschleife.
• Maschinen (Elemente) fallen aus und werden auf einer Liste der zu reparierenden Maschinen eingetragen. Ein Mechaniker (Bedienstation) repariert die Maschinen.

Spezifizierung von Wartesystemen

Wartesysteme werden durch spezielle Merkmale beschrieben. Die Gestalt des Ankunftsprozesses, die Anzahl der Bedienstationen und die Gestalt des Bedienprozesses sind wichtigste Merkmale.

Ankunftsprozess: Nach welcher Gesetzmäßigkeit treten Elemente in das System ein. Mögliche Ausprägungen: Deterministisch, Markov, General. „Deterministisch“ bedeutet, dass die Ankunftszeitpunkte festgelegt sind. „Markov“ bedeutet, dass die Zeitspanne zwischen dem Eintritt von zwei Elementen exponentialverteilt ist. „General/ zeigt an, dass ein beliebiger anderer Prozess zugrunde liegt.

Bedienprozess: Wie lange dauert die Bedienung eines Elements. Es gibt hier dieselben Möglichkeiten wie beim Ankunftsprozess.

Anzahl der Bedienstationen: Anzahl der Stationen, die parallel die Elemente bedienen (z.B. Anzahl der Kassen im Supermarkt).

Es wurde ein Kurzschreibweise entwickelt, um das Wartesystem zu charakterisieren: Ankunftsprozess|Bedienprozess|Anzahl der Stationen. Die Notation für ein Wartesystem, bei dem sowohl die Zeit zwischen zwei Ankünften, als auch die Dauer für die Abfertigung exponentialverteilt ist, wird kurz M|M|1 genannt..

Typischerweise wird davon ausgegangen, dass in der Schlange First-Come First-Served gilt, der Warteraum unendlich ist und dass es auch unendlich viele Elemente gibt, die in das System eintreten können. Wird davon abgewichen, wird dies in der Regel gesondert angegeben.

Kenngrößen

Von Interesse bei einer Analyse sind beispielsweise die durchschnittliche Schlangenlänge, die durchschnittliche Wartezeit oder die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zeitdauer warten zu müssen oder die Leerlaufzeitanteile der Bedienstationen.

Systemzustände und Übergänge

Bei der Analyse Wartesystemen wird häufig mit Markov-Ketten gearbeitet. Dabei spielen Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen Systemzuständen eine Rolle. Ein Zustand ist zum Beispiel: „fünf Elemente in der Warteschlange“. Es kann nun passieren, dass ein Element bedient wird und kein neues dazu kommt (Übergang zum Zustand „vier Elemente in Warteschlange“), dass ein Element bedient wird und ein neues dazu kommt („fünf Elemente in Warteschlange“) oder es kommt ein neues dazu und es wird kein Teil repariert. Die Zeitintervalle werden so klein gewählt, dass maximal ein neues Element in das System eintreten kann, bzw. es verlassen kann.

Um das System einfach analysieren zu können, ist es hilfreich, wenn die Übergangswahrscheinlichkeiten unabhängig vom Zustand oder anderen Einflüssen sind. Hier kommt der Vorteil der Exponentialverteilung bei der Modellierung von Ankunfts- und Bedienprozess zum Tragen. Ist in der letzten Zeiteinheit ein Element in das System eingetreten, verändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht, dass in der nächsten Einheit wieder ein Element eintritt. Die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung ist hier ausgesprochen vorteilhaft. Anderenfalls müssten Zustände wie „fünf Elemente im System, die letzten drei Zeiteinheiten kein Element eingetreten“ definiert werden. Dies würde die Komplexität enorm erhöhen.

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