Die Erlangverteilung als n-Fache Faltung der Exponentialverteilung

Pfad: https:// www.exponentialverteilung.de/ vers/ beweise/ beweis_erlangverteilung.html

Im Folgenden wird eine n-Fache Faltung von Exponentialverteilungen durchgeführt, die alle den gleichen Parameter Lambda haben. Das Ergebnis ist die Dichtefunktion einer Verteilung, die Erlangverteilung genannt wird. Zur Herleitung wird auf die Laplace-Transformation zurückgegriffen.
	Dichtefunktion der Exponentialverteilung. Diese Funktion soll n-mal gefaltet werden.
	Allgemeine Regel für die Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen (In einschlägigen Tabellenwerken nachzuschlagen).
	Durchführung der Faltung im konkreten Fall. Die Konstante kann dank Linearitätsregel vorab aus dem zu transformierenden Ausdruck gezogen werden.
	Im Bildbereich sind Faltungen einfach durchzuführen. Die im Realbereich zu faltenden Funktionen müssen im Bildbereich nur miteinander multipliziert werden. Im vorliegenden Fall sollen Exponentialverteilungen mit dem gleichen Parameter Lambda n-mal gefaltet werden, folglich muss die Funktion im Bildbereich mit sich selbst multipliziert werden, was potenzieren mit n entspricht. Abschließend wird der Ausdruck noch so umgeformt, dass er für die Rücktransformation geeignet ist.
	Mithilfe von Tabellenwerken kann nun die Rücktransformation durchgeführt werden. Nebenstehend die geeignete Rücktransformation in allgemeiner Form.
	Konkrete Durchführung der Rücktransformation. Nach einigen Umformungen erhält man die Dichtefunktion der Erlangverteilung.