Beweis: Erwartungswert der Exponentialverteilung

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(1) Formel für Erwartungswert allgemein. Es ist über den gesamten Definitionsbereich zu integrieren. Im Falle der Exponentialverteilung umfasst dieser ausschließlich die positiven Werte.

(2) Dichtefunktion der Exponentialverteilung

(3): (2) in (1)

Das Integral in (3) lässt sich mittels Partieller Integration lösen:

Allgemeine Formel für Partielle Integration

Für f(x) und g(x) werden nachfolgende Ausdrücke gewählt.

Noch einmal das zu lösende Problem. Lambda wurde ausgeklammert. Das ist zulässig, da es eine Konstante ist.

Anwendung der Formel zur Partiellen Integration.

Der erste Teil ergibt null. Zur Erinnerung:
Der Grenzwert der e-Funktion gegen minus unendlich ist null. Das multiplikativ verknüpfte x geht zwar gegen unendlich, aber die e-Funktion die gegen null geht, wiegt stärker, sodass der Gesamtausdruck gegen 0 geht.
Der zweite Teil wurde integriert. Die vielen Minuszeichen fordern hierbei etwas Konzentration. Die Richtigkeit kann man leicht durch Ableiten (=Rückgängig machen der Integration) nachprüfen. Nun muss für den zweiten Teil noch die Differenz der Funktionswerte von unendlich und null gebildet werden.

Ergebnis: Der Erwartungswert ist der Kehrwert von Lambda