Beweis: Herleitung der Varianz der Exponentialverteilung
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(1) Formel zur Errechnung der Varianz allgemein. Es ist über den gesamten Definitionsbereich zu integrieren. Im Falle der Exponentialverteilung sind ausschließlich x-Werte größer gleich null relevant. E(x) ist der Erwartungswert. |
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(2) Konkret für die Exponentialverteilung. Der Erwartungswert wurde bereits hergeleitet [Herleitung]. Deshalb wird in den folgenden Schritten nur der erste Teil mit dem Integral betrachtet. |
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| Das Integral in Ausdruck (2) lässt sich wieder mit Hilfe Partieller Integration lösen: | |||||
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Allgemeine Formel für Partielle Integration | ||||
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Nebenstehend die Wahl für f(x) und g(x) | ||||
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(3) Zunächst wird Lambda vor das Integral gezogen. Nach Anwendung der Partiellen Integration vereinfacht sich das Integral aus (2) wie nebenstehend. Zur weiteren Vereinfachung werden erneut Konstanten ausgeklammert. |
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(4) Der erste Teilausdruck von (3) geht für x gegen unendlich gegen null, da der Ausdruck im Exponenten der e-Funktion gegen minus unendlich geht. Auch für x gegen null geht der Ausdruck gegen null. Durch auflösen der Klammer und geeignetes gruppieren der Konstanten lässt sich das bereits das von der Berechnung des Erwartungswertes her bekannte Integral herstellen. |
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(5) In den letzten Schritten wurde nur der erste Teil von (2) betrachtet. Nun wird auch der zweite betrachtet. Das Ergebnis lässt sich vereinfachen. |
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