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Faltung bei ungleichen Lambdas

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f_von_x g_von_x (1)
Die zu faltenden Funktionen f(x) und g(x). Die Lambdas der beiden Funktionen sind unterschiedlich. Sie sind durch einen tiefgestellten Index gekennzeichnet.
Faltung_allgemein (2)
Nebenstehend die allgemeine Formel für Faltungen.
Eingesetzt (3)
(1) in (2) eingesetzt.
konstanten_ausklammern (4)
Die Lambda können ausgeklammert werden, da sie Konstanten sind. Gemäß den Rechenregeln für Exponentialfunktionen können zwei multiplikativ verknüpfte Exponentialverteilungen zusammengezogen werden. Die Exponenten werden dann addiert.
kostante_exponentialfunktion (5)
Die Exponenten werden so umgruppiert, dass eine Exponentialfunktion entsteht, die die Integrationsvariable Tau nicht enthält.
ausklammern (6)
Die Funktion ohne Tau ist eine Konstante und kann vor das Integralzeichen gezogen werden.
nach_integrieren (7)
Das Integral wurde gebildet, nun muss noch die Differenz der Funktionswerte gebildet werden. Achtung: Die Lambdas müssen verschieden sein, sonst kommt es zu einer Division durch null. Für den Fall der Faltung gleicher Lambdas siehe Beweis zur Faltung von Exponentialfunktionen mit gleichem Lambda.
Endergebnis (8)
Nebenstehend das Endergebnis.

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