Beweis: Übergang der Exponentialverteilung in die Poissonverteilung

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Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Exponentialverteilung und Poissonverteilung. Beide betrachten denselben Sachverhalt aus verschiedenen Perspektiven. Die Exponentialverteilung gibt an, wie die Dauer verschiedener Vorgänge (Bediendauer, Abstand zwischen Telefonanrufen usw.) verteilt ist. Die Poissonverteilung zählt, wie oft die gezählten Ereignisse in einem festgelegten Intervall auftreten. Ausgehend von der Exponentialverteilung soll ermittelt werden, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau n Ereignisse in einem Zeitintervall von t auftreten. Wie sich zeigen wird, ist das Ergebnis die Poissonverteilung.
	(1) Die Dauer von insgesamt n Vorgänge, deren einzelne Dauern exponentialverteilt sind, wird durch die Erlangverteilung ausgedrückt.
	(2) Nun muss die Verteilungsfunktion durch Integrieren der Dichtefunktion ermittelt werden. Die Aussage des Ergebnisses: Wahrscheinlichkeit, dass n Vorgänge zum Zeitpunkt t oder vorher abgeschlossen werden.
	(3) Die Integrationsvariable ist x. Zur Vereinfachung werden sämtliche Konstanten ausgeklammert.
	(4) Das Integral wird mittels Partieller Integration gelöst.
	(5) f(x) und g(x) werden wie nebenstehend gewählt.
(6) Durch einmalige Anwendung der Partiellen Integration lässt sich das Integral nicht lösen. Es bleibt wieder ein zu integrierender Ausdruck übrig. Dieser hat die gleiche Struktur wie der anfänglich zu integrierende Ausdruck. Unterschied ist, dass an den Stellen, an denen im Ausgangsausdruck "n" stand, nun "n-1" steht.

(7) Zunächst wird der gewonnene Ausdruck vereinfacht und die Integrationsgrenzen werden eingesetzt.

	(8) DDie untere Integrationsgrenze wird für alle n ungleich null, n gleich null bildet eine Ausnahme, da null hoch null als eins definiert ist.
	(9) Weitere Umformungen zur Vereinfachung. Auf den verbleibenden Ausdruck kann erneut die Partielle Integration angewandt werden. Dabei wird sich wieder ein zu integrierender Ausdruck ergeben, bei dem überall, wo ursprünglich n, stand n-2 steht. Idee ist nun, solange die Partielle Integration durchzuführen, bis n gleich null ist.
	(10) Die entstehenden Terme können bequem mit Summenzeichen notiert werden. Die untere Integrationsgrenze gibt immer null. Ausnahme ist der letzte Term, der eins ergibt.
	(11) Nebenstehend das Endergebnis. Das ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass n Vorgänge bis zum Zeitpunkt t oder einem früheren Zeitpunkt durchgeführt werden können. Mit anderen Worten: Es können mindestens n Vorgänge bis zum Zeitpunkt t durchgeführt werden.
	(12) Gesucht ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass genau n Vorgänge durchgeführt werden können. Können n+1 Vorgänge bis zum Zeitpunkt t durchgeführt werden, können auch n Vorgänge durchgeführt werden. Um zu ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit, genau n Vorgänge durchführen zu können, ist (und nicht mehr), muss die Wahrscheinlichkeit, n+1 oder mehr Vorgänge ausführen zu können, von der Wahrscheinlichkeit, n Vorgänge oder mehr durchführen zu können, abgezogen werden.
	(13) Nebenstehend das Endergebnis. Der Ausdruck entspricht der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung.

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