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Gedächtnislosigkeit in der Statistik

Pfad: https:// www.exponentialverteilung.de/ vers/ fakten/ gedaechtnislosigkeit.html

Erklärung

Das Besondere an der Exponentialverteilung ist die so genannte Gedächtnislosigkeit. Kann ein laufender Zufallsversuch beobachtet werden und hat die beobachtete Variable einen beliebigen Wert erreicht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie um mindestens weitere t Einheiten wächst, für jeden Ausgangswert gleich.

Ist die Ausfallrate eines Bauteils beispielsweise exponentialverteilt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es weitere t Zeiteinheiten überlebt, zu jedem Zeitpunkt, zu dem es noch nicht ausgefallen ist, gleichgroß. Alterung tritt nicht ein.

Rechnung

P(A): Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil mindestens t Zeiteinheiten überlebt (1-F(t)).
P(B): Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil mindestens x Zeiteinheiten überlebt (1-F(x)).
P(): Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil x Einheiten und dann
weitere t Einheiten überlebt (1-F(x+t)).

Für bedingte Wahrscheinlichkteiten allgemein gilt:

In Worten: Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das bis zum Zeitpunkt x überlebt hat, weitere t Zeiteinheiten, als insgesamt x+t Einheiten, überlebt.

Konkret:





Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil weitere t Einheiten überlebt, ist, wenn es schon x Einheiten gehalten hat, genau so groß, als wenn es neu ist. D.h. die Ausfallrate ist konstant.

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